Question

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．（1）若a＜0且b=2-a，试讨论f（x）的单调性；（2）若对?b∈[-2，-1

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．（1）若a＜0且b=2-a，试讨论f（x）的单调性；（2）若对?b∈[-2，-1]，总?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝2ax+(2?a)?

1

x

＝

2ax2+(2?a)x?1

x

=

(ax+1)(2x?1)

x

（x∈（0，+∞）），
令f′（x）=0，解得 x=-

1

a

或x=

1

2

①当-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2时，
令f′（x）＞0，解得-

1

a

＜x＜

1

2

，
故f（x）的增区间为(?

1

a

，

1

2

)，减区间为(0，?

1

a

)，(

1

2

，+∞)；
②当-

1

a

=

1

2

，即a=-2时，则f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
③当-

1

a

＞

1

2

，即a＞-2时，
令f′（x）＞0，解得

1

2

＜x＜-

1

a

，
故f（x）的增区间为(

1

2

，?

1

a

)，减区间为(0，

1

2

)，(?

1

a

，+∞)；
（2）对?b∈[-2，-1]，都?x∈（1，e）ax²+bx-lnx＜0成立，
即ax²-x-lnx＜0在（1，e）内有解，亦即a＜

lnx+x

x2

在（1，e）内有解，
故只需a＜(

lnx+x

x2

)max即可，
令g(x)＝

lnx+x

x2

，则g′(x)＝

?x(x?1+2lnx)

x4

∵x∈（1，e）∴g′（x）＜0
∴a＜g