Question

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点．（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠P的度数；

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点．（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠P的度数；（2）若∠A=60°，求∠P的度数；（3）那么∠A和∠P有什么样的数量关系？请简述理由．

Answer 1

（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠A=60°．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=100°．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=20°，∠PCD=50°，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC=30°；

（2）∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠P=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠A=30°；

（3）∠P＝

1

2

∠A．
理由：∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠P=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠A．