Question

设矩阵A=(a1，a2，a3，a4）其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2-a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求Ax=b的解

Answer 1

这是2002年的考研题，
有题设知r(A)=3，且由a1=2a2-a3，即(a1，a2，a3，a4）*(-1,2，-1,0)T=0知(-1,2，-1,0)T是AX=0的基础解系，所以线性方程Ax=b的解是c(-1,2，-1,0)T+(1,1,1,1)T,其中T是转置的意思

Answer 2

记x=（x1,x2,x3,x4)'
则x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b
即(2x1+x2)a2+(-x1+x3)a3+x4a4=3a2+a4
所以2x1+x2=3
-x1+x3=0
x4=1

解为(k,3-2k,k,1)，其中k为实数

Answer 3

先用已知向量的列向量写出矩阵
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 1
再利用初等行变换
第一行乘以-1加到第二行
1 0 1 1
0 0 -1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
再利用初等行变换
第三行乘以-1加到第四行
1 0 1 1
0 0 -1 0
0 1 1 1
0 0 -1 0
第二行乘以-1加到第四行
1 0 1 1
0 0 -1 0
0 1 1 1
0 0 0 0
第二行和第四行互换
1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 -1 0
0 0 0 0
再用虚线画出阶梯型可得
: 1 0 1 1
...
0 : 1 1 1
..
0 0 :-1 0
. . .
0 0 0 0
不在同一层的就是无关的
即:a1,a2,a3和a1,a2,a4