Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x 2 ﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x 2 ﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

Answer 1

(1)A（2，0），B（1，0）；(2)∠ACB=90°； (3)①当AC=BC时，n=﹣2； ②当AC=AB时，n=﹣ ； ③当BC=AB时，当n＞0时，n= ，当n＜0时，n=﹣ ．

试题分析： （1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x 2 ﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大． （2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得﹣1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可． （3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可． 试题解析： 解：（1）∵y=x 2 ﹣(m+n)x+mn=（x﹣m)(x﹣n）， ∴x=m或x=n时，y都为0， ∵m＞n，且点A位于点B的右侧， ∴A（m，0），B（n，0）． ∵m=2，n=1， ∴A（2，0），B（1，0）． （2）∵抛物线y=x 2 ﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1）， ∴﹣1=mn， ∴n=﹣ ， ∵B（n，0）， ∴B（﹣ ，0）． ∵AO=m，BO=﹣ ，CO=1 ∴AC= = ， BC= = ， AB=AO+BO=m﹣ ， ∵（m﹣ ） 2 =（ ） 2 +（ ） 2 ， ∴AB 2 =AC 2 +BC 2 ， ∴∠ACB=90°． （3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2， ∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）． ∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|， ∴AC= = ， BC= = |n|， AB=xA﹣xB=2﹣n． ①当AC=BC时， = |n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2； ②当AC=AB时， =2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣ ； ③当BC=AB时， |n|=2﹣n， 当n＞0时， n=2﹣n，解得n= ， 当n＜0时，﹣ n=2﹣n，解得n=﹣ ．