Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2） 2 （x∈R）．（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2） 2 （x∈R）．（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线27x+y-8=0平行，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[-2，1]，不等式 f(x)＜ 16 9 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-2） 2 =ax 3 -4ax 2 +4ax， ∴ f′(x)=3a x 2 -8ax+4a=3a(x- 2 3 )(x-2) ． ∴f′（1）=-a=-27，得a=27 ∴f（x）=27x（x-2） 2 （x∈R）（2分） 令fn（x）=0得 (x- 2 3 )(x-2)=0 ， ∴ x= 2 3 或x=2． 又函数f（x）在 (-∞， 2 3 ) 上为增函数， 在 ( 2 3 ，2) 上为减函数， 在（2，+∞）上为增函数． （4分） ∴f（x）在 x= 2 3 时取得极大值， f( 2 3 )=32 ． 在x=2时取得极小值f（2）=0；（6分） （Ⅱ）由 f′(x)=3a(x- 2 3 )(x-2) ，知 当a＞0时，函数f（x）在 [-2， 2 3 ] 上是增函数， 在 [ 2 3 ，1] 上是减函数． 此时， y max =f( 2 3 )= 32 27 a ． 又对?x∈[-2，1]，不等式 f(x)＜ 16 9 恒成立． ∴ 32 27 a＜ 16 9 ，得 a＜ 3 2 ， ∴ 0＜a＜ 3 2 ． （9分） 当a＜0时，函数f（x）在 [-2， 2 3 ] 上是减函数， 在 [ 2 3 ，1] 上是增函数． 又f（-2）=-32a，f（1）=a，此时，y max =f（-2）=-32a． 又对?x∈[-2，1]，不等式 f(x)＜ 16 9 恒成立． ∴ -32a＜ 16 9 得 a＞- 1 18 ，∴ - 1 18 ＜a＜0 ． 故所求实数的取值范围是 (- 1 18 ，0)∪(0， 3 2 ) ． （12分）