Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3…），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3…），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（Ⅱ） 设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn，并求满足Tn＜55的最大正整数n．

Answer 1

（1）①当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2．
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
化为

an

an?1

＝2．
∴数列{a_n}是等比数列．
∴an＝a1qn?1=2×2^n-1=2ⁿ．
②数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
∴b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2．
∴数列{b_n}是等差数列，
∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（II）∵c_n=a_n?b_n=（2n-1）?2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）?2^n-1+（2n-1）?2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2²+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹=2+2×

4×(2n?1?1)

2?1

?(2n?1)?2n+1
=（3-2n）?2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn＝(2n?3)?2n+1+6．
由T_n＜55可得（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6＜55，化为（2n-3）?2ⁿ⁺¹＜49．
当n=3时，左边=（2×3-3）×2⁴=48＜49=右边，
而当n=4时，左边=（2×4-3）×2⁵=5×32＞49=右边．
因此满足T_n＜55的最大正整数n=3．