Question

已知数列{an}前n项和为Sn，且a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；

已知数列{an}前n项和为Sn，且a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；（Ⅱ）设bn=（2n-1）an，求数列{bn} 的前n项和为Tn；（Ⅲ）若cn=tn[lg（2t）n+lgan+2]（t＞0），且数列{cn} 是单调递增数列，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1，
∴3a_n=5a_n-a_n-1，
∴

an

an?1

＝

1

2

，
∵a₁=2，∴an＝2?(

1

2

)n?1＝22?n．
（2）∵an＝22?n，b_n=（2n-1）a_n，
∴bn＝(2n?1)?22?n，
∵数列{b_n} 的前n项和为T_n，
∴Tn＝1×2+3×20+5×2?1+…+（2n-1）?2^2-n，
同乘公比得

1

2

Tn＝1×20+3×2?1+5×2?2+…+（2n-1）?2^1-n
∴

1

2

Tn＝1×2+2×20+2×2?1+2×2^-2+…+2×2^2-n-（2n-1）?2^1-n
=2+4[1-(

1

2

)n?1]-（2n-1）?2^1-n
∴Tn＝12?(2n+3)?22?n．
（3）∵c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（t＞0），∴c_n=n?tⁿ?lgt，
∵c_n＜c_n+1，∴n?tⁿ?lgt＜（n+1）?tⁿ⁺¹?lgt，
①当0＜t＜1时，则t＜

n

n+1

对任意正整数恒成立，0＜t＜

1

2

．
②当t＞1时，t＞

n

n+1

对任意正整数恒成立，∴t＞1．
综上可知，实数t的取值范围是（0，

1

2

）∪（1，+∞）．