Question

已知数列{an}的首项a1=a，其前n和为Sn，且满足Sn+Sn-1=3n2（n≥2）．若对任意的n∈N*，an＜an+1恒成立，

已知数列{an}的首项a1=a，其前n和为Sn，且满足Sn+Sn-1=3n2（n≥2）．若对任意的n∈N*，an＜an+1恒成立，则a的取值范围是______．

Answer 1

由条件Sn+Sn?1＝3n2(n≥2)得Sn+1+Sn＝3(n+1)2，
两式相减得a_n+1+a_n=6n+3，
故a_n+2+a_n+1=6n+9，两式再相减得a_n+2-a_n=6，
由n=2得a₁+a₂+a₁=12，a₂=12-2a，
从而a_2n=6n+6-2a；n=3得a₁+a₂+a₃+a₁+a₂=27，a₃=3+2a，从而a_2n+1=6n-3+2a，
由条件得

a＜12?2a 6n+6?2a＜6n?3+2a 6n?3+2a＜6(n+1)+6?2a

，
解之得

9

4

＜a＜

15

4

，
故答案为：(

9

4

，

15

4

)