Question

如图1所示，质量为m，边长为L的正方形线框abcd，从垂直纸面向里的水平有界匀强磁场的上方h高度处由静止自

如图1所示，质量为m，边长为L的正方形线框abcd，从垂直纸面向里的水平有界匀强磁场的上方h高度处由静止自由下落，线框下落过程中始终在同一竖直平面内且cd边与磁场边界都沿水平方向．（1）请证明线框进入磁场的过程中任意时刻线框克服安培力做功的功率等于线框的电功率；（2）若m=0.40kg，L=0.45m，h=0.80m，磁场高度H=1.45m，且cd边进入磁场时线框刚好做匀速运动，求cd边刚穿出磁场时线框的加速度大小； 若线框电阻为0.81Ω，求磁感应强度的大小（g取10m/s2）．（3）在（2）中，若线框刚进入磁场时对其施加一竖直方向外力F，使其能以a=10m/s2的加速度竖直向下做匀加速运动，请说明线框abcd进入磁场的过程中外力F随时间t变化的关系，在图2中并作出相应的图象．

Answer 1

解答：解：（1）设导线框cd边刚进入磁场时的速度为v，则在cd边进入磁场过程时产生的感应电动势为：E=BLv，
根据闭合电路欧姆定律，导线框的感应电流为：I=

E

R

导线框受到的安培力为：F_安=BIL=

B2L2v

R

，
因cd刚进入磁场时导线框做匀速运动，所以有：F_安=mg，
以上各式联立，得：v=

mgR

B2L2

．
导线框cd边在磁场中运动时，克服安培力做功的功率为：P_安=F_安v=

B2L2v

R

?v=

B2L2v2

R

导线框消耗的电功率为：P_电=I²R=（

BLv

R

）²R=

B2L2v2

R

．
因此有：P_安=P_电
即线框进入磁场的过程中，在任意时刻线框克服安培力做功的功率等于线框的电功率．
（2）线框自由下落过程，有：
mgh=

1

2

mv2，v=

2gh

=

2×10×0.8

=4m/s
设cd边刚穿出磁场时线框速度为v′．
根据机械能守恒得：mg（H-L）=

1

2

mv′2-

1

2

mv2
得：v′=

v2+2g(H?L)

=

42+2×10×(1.45?0.45)

=6m/s
此时线框所受的安培力大小为：F=BIL=BL

BLv′

R

=

B2L2v′

R

根据牛顿第二定律得：F-mg=ma₁．
即：

B2L2v′

R

-mg=ma₁．
由上题有：v=

mgR

B2L2

=4m/s
得：

B2L2

R

=

1

4

mg
则得：

1

4

mgv′-mg=ma₁．
解得：a₁=0.5g=5m/s²．
若电阻为0.81Ω；则有：B=

mgR 4L2

=

0.40×10×0.81 4×(0.45)2

=2T；
（3）线框在F外力作用下加速进入过程中，经t时刻速度为v，则该时刻有：
F+mg-

B2L2v″

R

=ma₂．
又v″=v+a₂t
根据上述方程联立，可得F=4+10t（t≤0.1s），在图乙中作出线框abcd进入磁场的过程中外力F随时间t变化的图象如图所示．
答：（1）证明见上．
（2）cd边刚穿出磁场时线框的加速度大小a₁为5m/s²．
（3）作出线框abcd进入磁场的过程中外力F随时间t变化的图象如图．