Question

求解高二文科数学第15题，必采纳，谢谢了

Answer 1

f(x)=1/3*x^3-ax^2+(a^2-1)x+b
(1)f'(x)=x^2-2ax+a^2-1
依题意得f(x)过点(1,2)，且在此点的切线斜率为-1
∴f(1)=1/3-a+a^2-1+b=2，f'(1)=1-2a+a^2-1=-1
∴a=1，b=8/3
(2)f(x)=1/3*x^3-x^2+8/3，f'(x)=x^2-2x=x(x-2)
令f'(x)≥0，那么x≥2，或x≤0；令f'(x)<0，那么0<x<2
∴f(x)在(-∞,0]上单调递增，在(0,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增
∴f(x)极大值=f(0)=8/3，f(x)极小值=f(2)=4/3
(3)f(x)在[-2,0]上单调递增，在(0,2)上单调递减，在[2,3]上单调递增
∴f(x)最大值是f(0)和f(3)中间的一个，而f(0)=8/3，f(3)=9-9+8/3=8/3
∴f(x)最大值=8/3

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Answer 2

f(x) = 1/3x³-ax²+(a²-1)x+b
图像过点（1，2)：
1/3-a+(a²-1)+b = 2
a²-a+b=8/3
f ′(x) = x²-2ax+a²-1
在点（1，2）的切线方程x+y-3=0，斜率k=-1
f ′(1) = 1-2a+a²-1=-1
a²-2a+1=(a-1)² = 0
a = 1
a²-a+b=8/3
b = 8/3

f(x) = 1/3x³-x²+8/3
f ′(x) = x²-2x = x(x-2)
x＜0或x＞2时单调增，0＜x＜2时单调减
极大值f(0) = 0-0+8/3 = 8/3
极小值f(2) = 1/3*8-4+8/3 = 4/3

在区间【-2，3】
极大值f(0) = 8/3
f(3) = 1/3*27-9+8/3 = 8/3
最大值8/3

Answer 3

答：
f(x)=x³/3-ax²+(a²-1)x+b
1）
f'(x)=x²-2ax+a²-1
点(1,2)处切线为x+y-3=0
切线斜率k=f'(1)=1-2a+a²-1=-1
a²-2a+1=0
解得：a=1
f(1)=1/3-1+b=2
解得：b=8/3
综上所述，a=1，b=8/3
2）
f(x)=x³/3-x²+8/3
f'(x)=x²-2x=0，x=0或者x=2
x<0或者x>2时f'(x)>0，f(x)递增
0<x<2时f'(x)<0，f(x)递减
x=0时取得极大值f(0)=8/3
x=2时取得极小值f(2)=4/3
3）
f(3)=9-9+8/3=8/3
在[-2,3]上的最大值为f(0)=f(3)=8/3

Answer 4

1、f'(x)=x²-2ax+a²-1
所以f'(1)=1-2a+a²-1=a²-2a，因为切线方程为x+y-3=0
所以a²-2a=-1，所以a=1；将（1，2）代入函数，可得b=8/3
2、f'(x)=x²-2x，所以x>2或x<0时，f'(x)>0
所以x=2或0是函数取极值，当x=0时，f(0)=8/3是极大值；当x=2时，f(2)=4/3是极小值
3、根据f'(x)=x²-2x，函数在(-无穷大，0），及（2，+无穷大）是递增的，在(0,2)是递减的
而f(-2)=-4,f(3)=8/3,所以最大值为8/3

Answer 5

解：（1）由题意，f′（x）=x2-2ax+a2-1． …
又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
所以切线的斜率为-1，即 f′（1）=-1，∴a2-2a+1=0，解得a=1． …
又∵点（1，f（1））在直线x+y-3=0上，∴f（1）=2，…
同时点（1，f（1））即点（1，2）在y=f（x）上，∴2=1/3-a+(a²-1)+b，…
即2=1/3-1+(1²-1)+b b=8/3得f(x)=1/3x³-x²+8/3， …
（2）由（1）有，∴f′（x）=x2-2x，…
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，
所以有x、f′（x）、f（x）的变化情况表如下：

x （-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 极大值  极小值 
…
由上表可知，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）； …
∴函数f（x）的极大值是f(0)=8/3，极小值是f(2)=4/3．
或者这样解：f(x)=x³/3-ax²+(a²-1)x+b
1）
f'(x)=x²-2ax+a²-1
点(1,2)处切线为x+y-3=0
切线斜率k=f'(1)=1-2a+a²-1=-1
a²-2a+1=0
解得：a=1
f(1)=1/3-1+b=2
解得：b=8/3
综上所述，a=1，b=8/3
2）
f(x)=x³/3-x²+8/3
f'(x)=x²-2x=0，x=0或者x=2
x<0或者x>2时f'(x)>0，f(x)递增
0<x<2时f'(x)<0，f(x)递减
x=0时取得极大值f(0)=8/3
x=2时取得极小值f(2)=4/3
3）
f(3)=9-9+8/3=8/3
在[-2,3]上的最大值为f(0)=f(3)=8/3
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Answer 6

解：（1）由题意，f′（x）=x2-2ax+a2-1．                                     …
又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
所以切线的斜率为-1，即 f′（1）=-1，∴a2-2a+1=0，解得a=1．                       …
又∵点（1，f（1））在直线x+y-3=0上，∴f（1）=2，…
同时点（1，f（1））即点（1，2）在y=f（x）上，∴2=1/3-a+(a²-1)+b，…
即2=1/3-1+(1²-1)+b b=8/3得f(x)=1/3x³-x²+8/3，                                 …
（2）由（1）有，∴f′（x）=x2-2x，…
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，
所以有x、f′（x）、f（x）的变化情况表如下：

x （-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 极大值  极小值 
…
由上表可知，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）； …
∴函数f（x）的极大值是f(0)=8/3，极小值是f(2)=4/3．

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