如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交

如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠B... 如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH= BD;其中正确结论的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 展开
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小砚jx8
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知道答主
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C.


试题分析:∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAC=60°,AE=AC,
∵∠BAC=30°,
∴∠FAE=∠ACB=90°,AB=2BC,
∵F为AB的中点,
∴AB=2AF,
∴BC=AF,
∴△ABC≌△EFA,
∴FE=AB,
∴∠AEF=∠BAC=30°,
∴EF⊥AC,故①正确,

∵EF⊥AC,∠ACB=90°,
∴HF∥BC,
∵F是AB的中点,
∴HF= BC,
∵BC= AB,AB=BD,
∴HF= BD,故④说法正确;

∵AD=BD,BF=AF,
∴∠DFB=90°,∠BDF=30°,
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°,
∴∠DFB=∠EAF,
∵EF⊥AC,
∴∠AEF=30°,
∴∠BDF=∠AEF,
∴△DBF≌△EFA(AAS),
∴AE=DF,
∵FE=AB,
∴四边形ADFE为平行四边形,
∵AE≠EF,
∴四边形ADFE不是菱形;
故②说法不正确;
∴AG= AF,
∴AG= AB,
∵AD=AB,
则AD=4AG,故③说法正确,
故选C.
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