Question

（2014?长葛市三模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，侧面AA1C1C是正方形

（2014?长葛市三模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，侧面AA1C1C是正方形，E是A1B的中点，F是棱CC1上的点．（1）若F是棱CC1中点时，求证：AE⊥平面A1FB；（2）当VE-ABF=93时，求正方形AA1C1C的边长．

Answer 1

（Ⅰ）取AB的中点为M，连接EF，EM，CM，
∵E是A₁B的中点，F是棱CC₁中点，
∴EM∥AA₁，FC∥AA₁，EM＝FC＝

1

2

AA1，
则四边形EMCF是平行四边形，∴EF∥CM，
又∵△ABC为正三角形，侧面AA₁C₁C是正方形，
∴AA₁=AB，∴AE⊥A₁B，CM⊥AB，
∵侧棱AA₁⊥平面ABC，∴CM⊥AA₁，∴CM⊥平面A₁AB，
∴EF⊥平面A₁AB，∴EF⊥AE，
又∵AE⊥A₁B，A₁B∩EF=E，∴AE⊥平面A₁FB．…（6分）
（Ⅱ）设正方形AA₁C₁C的边长为x，
由于E是A₁B的中点，△EAB的面积为定值．
∵CC₁∥平面AA₁B，∴点F到平面EAB的距离为定值，
即为点C到平面平面AA₁B的距离，
又V_E-EABF=V_F-ABE，且V_F-ABE=

1

3

S△ABE?h=9

3

．
即

1

3

?

1

2

?x?

3

2

x=9

3

，解得x³=216，即x=6．
∴正方形的边长为6．…（12分）