Question

已知数列{a n }满足a 1 =1，a n+1 =2a n +1（n∈N * ）．（Ⅰ）求证：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{

已知数列{a n }满足a 1 =1，a n+1 =2a n +1（n∈N * ）．（Ⅰ）求证：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n }的通项公式为c n =2n，求数列{a n ?c n }的前n项和S n ；（Ⅲ）若数列{b n }满足 4 b 1 -1 4 b 2 -1 … 4 b n -1 =( a n +1 ) b n (n∈ N * ) ，且b 2 =4．证明：数列{b n }是等差数列，并求出其通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）∵a n+1 =2a n +1（n∈N*）．a n+1 +1=2（a n +1），----------（3分） {a n +1}是以a 1 +1=2为首项，2为公比的等比数列．∴ a n +1= 2 n ． 即 a n = 2 n -1(n∈N*) ．--------------（4分） （II）∵ a n = 2 n -1 ，c n =2n，∴ a n c n =2n( 2 n -1) ∴S n =a 1 c 1 +a 2 c 2 +a 3 c 3 +…+a n c n =2[（1×2+2×2 2 +3×2 3 +…+n×2 n ）-（1+2+3+…+n）]-----（6分） 设  A=1×2+2×2 2 +3×2 3 +…+n×2 n ① 则2A=1×2 2 +2×2 3 +…+（n-1）×2 n +n×2 n+1 ② ①-②得-A=1×2+1×2 2 +1×2 3 +…+1×2 n -n×2 n+1 = 2(1- 2 n ) 1-2 -n× 2 n+1 =（1-n）×2 n+1 -2 ∴A=（n-1）×2 n+1 +2 ∴ S n =(n-1)× 2 n+2 +4-n(n+1) --------------（9分） （Ⅲ）∵ 4 b 1 -1 4 b 2 -1 … 4 b n -1 =( a n +1 ) b n ，∴ 4 ( b 1 + b 2 +…+ b n )-n = 2 n b n ， ∴2[（b 1 +b 2 +…+b n ）-n]=nb n ，①2[（b 1 +b 2 +…+b n +b n+1 ）-（n+1）]=（n+1）b n+1 ．　② ②-①，得2（b n+1 -1）=（n+1）b n+1 -nb n ，--------------（11分） 即（n-1）b n+1 -nb n +2=0，③nb n+2 -（n+1）b n+1 +2=0．                    ④ ④-③，得nb n+2 -2nb n+1 +nb n =0， 即b n+2 -2b n+1 +b n =0，∴ b n+2 - b n+1 = b n+1 - b n (n∈ N * ) ，∴{b n }是等差数列．--------------（13分） ∵b 1 =2，b 2 =4，∴b n =2n．--------------（15分） （注：没有证明数列{b n }是等差数列，直接写出b n =2n，给2分）