Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－ .(1

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－ .(1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为2，最小值为－4

试题分析：（1）欲证函数 为奇函数，需寻找 关系.由题中条件可知，需要从f(x)＋f(y)＝f(x＋y)拼凑出 与 ，令 ,便有 ,需求得 ,考虑到 ,令特殊值求 ；（2）同一样的思想，这里需要拼凑出 与 （ ）不等于关系（需利用当x＞0时，f(x)＜0）；（3）利用（1），（2）结论解（3）. 试题解析：令 ,可得 从而 . 令 ，可得 ，即 ， 故 为奇函数．                                          4分 证明：设 ，且 ，则 ，于是 . 从而 . 所以 为减函数．                                         8分 解：由(2)知，所求函数的最大值为 ，最小值为 ． , . 于是 在 上的最大值为2，最小值为－4.                12分