Question

若在R2上定义的函数f（x，y）存在偏导数fx（x，y），fy（x，y），且fx（x，y），fy（x，y）在（0，0）上

若在R2上定义的函数f（x，y）存在偏导数fx（x，y），fy（x，y），且fx（x，y），fy（x，y）在（0，0）上连续，则f（x，y）在（0，0）上可微．______（判断对错）

Answer 1

正确．书上的定理，现证明如下
由于△z=f（0+△x，0+△y）-f（0，0）
=（f（0+△x，0+△y）-f（0，0+△y））+（f（0，0+△y）-f（0，0））
=f_x（0+θ₁△x，0+△y）△x-f_y（0，0+θ₂△y）△y
又已知f_x（x，y），f_y（x，y）在（0，0）上连续，
∴f（0+θ₁△x，0）=f_x（0，0）+α，f（0，0+θ₂△y）=f_y（0，0）+β
当（△x，△y）→（0，0）时，α，β→0，
∴△z=f_x（0，0）△x+f_y（0，0）△y+α△x+β△y
∴

lim

ρ→0

△z?[fx(0，0)△x+fy(0，0)△y]

ρ

＝

lim

ρ→0

α△x+β△y

ρ

＝0
可知f（x，y）在（0，0）上可微．