Question

已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈R）．（1）若f（x）关于原点对称，求a的值；（2）在（1）

已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈R）．（1）若f（x）关于原点对称，求a的值；（2）在（1）下，解关于x的不等式f-1（x）＞m（m∈R）．

Answer 1

（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
有log₂（1-x）+alog₂（1+x）+log₂（1+x）+alog₂（1-x）=0，
化简得  （a+1）[log₂（1-x）+log₂（1+x）]=0
∵log₂（1-x）+log₂（1+x）不恒为0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）由（1）得f(x)＝log2

1+x

1?x

(?1＜x＜1)则．
∵f ^-1（x）=1-

2

2x+1

∈（-1，1）
当m≥1时，不等式f ^-1（x）＞m  解集为?
当-1＜m＜1时，解不等式 f^-1（x）＞m 有

2x?1

2x+1

＞m?1-

2

2x+1

＞m?2^x＞

1+m

1?m

?x＞log2

1+m

1?m

解集为  {x|x＞log2

1+m

1?m

}
当m≤-1时，不等式f^-1（x）＞m对任意的x都成立，即解集为R