Question

如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点

如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．

Answer 1

解答：解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，
当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，
∴BH=AB?cosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC=

AH2+CH2

=5，
∴此时CP=r=5；

（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，
∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，
连接AC、EP，则AC⊥EP，
∴AM=CM=

5

2

，
由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，
∴CP=CE=

CM

cos∠ACB

=

25

8

，
∴EF=2

( 25 8 )2?32

=

7

4

；

（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，
∵

BQ

AB

=cosB，AB=5，
∴BQ=4，AN=QC=BC-BQ=4．
∵cosB=

4

5

，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，
∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE=∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴

AE

CB

=

AG

BG

，即

AE

8

=

AE

AE+5

，
解得：AE=3，EN=AN-AE=1，
∴CE=

EN2+CN2

=

32+12

=

10

．