Question

f(x)=mx-m/x-2㏑x,(1)当m=1,x>1,求证f(x)>0 (2)若对任意x∈[1,√3],都有f(x)<2成立,求实数m 的取值范围

Answer 1

解:(1)m=1时 f(x)=x-1/x-2㏑x(x>0)
f'(x)=1+1/x^2-2/x=(x-1)^2/x≥0,(仅当x=1取“=”）
得 f(x)在(0,+∞)上单增,且f(1)=0

所以 x>1时 f(x)>0

(2)m可取的充要条件是:f(x)在[1,√3]的最大值M<2

f'(x)=m+m/x^2-2/x=(mx^2-2x+m)/x^2 (x>0)

m≤0时 f'(x)<0, f(x)在[1,√3]上单减.
此时 最大值M=f(1)=0<2
即一切m≤0都可取.

m>0时 f'(x)=m+m/x^2-2/x=(x^2-(2/m)x+1).(m/x^2)
若f'(x)=0 在(1,√3)上无实根,则f(x)在[1,√3]上单调,最大值必在端点处；
若f'(x)=0 在(1,√3)上有实根,则f'(x)=0的两根之积等于1,在(1,√3)上只能有1个根,另一根在(0,1)内.
设x0是f'(x)=0 在(1,√3)上的实根,则在[1,x0)上f'(x)<0,在(x0,√3]上f'(x)>0

即f(x)在x0处取极小值.得此时最大值也在端点处。

得 对任意x∈[1,√3],f(x)的最大值是f(1)=0和f(√3))=(2√3)m/3-ln3中较大者。

所以此时 m可取的充要条件是：
0<2 且 (2√3)m/3-ln3<2 且m>0
解得0<m<(√3/2)ln3+√3

所以 m的取值范围是 m<(√3/2)ln3+√3

希望对你有点帮助！