Question

设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为_____

设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i， 所以 |z|= (a+cosθ ) 2 +(2a-sinθ ) 2 = (2acosθ-4asinθ)+5 a 2 +1 = 2 5 a( 5 5 cosθ- 2 5 5 sinθ)+5 a 2 +1 = 2 5 acos(θ+α)+5 a 2 +1 （tanα=2）． 因为|z|≤2， 所以 2 5 acos(θ+α)+5 a 2 +1≤4 ． 若a=0，此式显然成立， 若a＞0，由 2 5 acos(θ+α)+5 a 2 +1≤4 ， 得 5 a 2 +2 5 a-3≤0 ，解得 0＜a≤ 5 5 ． 若a＜0，由 2 5 acos(θ+α)+5 a 2 +1≤4 ， 得 5 a 2 -2 5 a-3≤0 ，解得 - 5 5 ≤a＜0 ． 所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为 [- 5 5 ， 5 5 ] ． 故答案为 [- 5 5 ， 5 5 ] ．