Question

已知函数f（x）=x-1+ a e x （a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1

已知函数f（x）=x-1+ a e x （a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=x-1+ a e x ，得f′（x）=1- a e x ，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1- a e =0，解得a=e． （Ⅱ）f′（x）=1- a e x ， ①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x =a，x=lna， x∈（-∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值． 综上，当当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x-1+ 1 e x ，令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+ 1 e x ， 则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（ 1 k-1 ）=-1+ 1 e 1 k-1 ＜0， 又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）= 1 e x ＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解， 所以k的最大值为1