Question

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC=60°，侧棱长为22a，若经过AB1且与BC

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC=60°，侧棱长为22a，若经过AB1且与BC1平行的平面交上底面线段A1C1于点E．（1）试求AE的长；（2）求证：A1C⊥平面AB1E．

Answer 1

解：（1）AE的长为：AE＝

3 a

2

，即点E为线段A₁C₁的中点．理由如下：
连接A₁B交AB₁于点O，连接OE，则有OE∥BC₁，
又∵OE?平面AB₁E，BC₁?平面AB₁E，∴BC₁∥平面AB₁E--------（6分）
（2）由题意有△A₁B₁C₁为边长为a的正三角形，
又点E为线段A₁C₁的中点，∴B₁E⊥A₁C₁
又平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，
∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，∴B₁E⊥A₁C．------（10分）
在平面ACC₁A₁中由平几知识可得A₁C⊥AE，又B₁E∩AE=E，
所以A₁C⊥平面AB₁E．------------------------（14分）