Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．

Answer 1

(1)证明见解析；（2） ；（3）5.

试题分析：（1）欲证点F是AD的中点，只须证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出； （2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出； （3）根据△AEC∽△BEA易得AE 2 =CE?BE，因此（5k） 2 = k?（10+5k），解得k=2，所以CD= k=5． 试题解析：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED为⊙O直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴点F是AD的中点； （2）解：连接DM， 设EF=4k，DF=3k， 则ED= ， ∵ AD?EF= AE?DM， ∴DM= ， ∴ME= ， ∴cos∠AED= ； （3）∵∠B=∠3，∠AEC为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE 2 =CE?BE， ∴（5k） 2 = k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD= k=5． 考点: 1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.锐角三角函数的定义．