Question

已知函数f（x）= x-2 ax+1 (a＞1，x∈R，x≠- 1 a ) ；（1）试问：该函数的图象上是

已知函数f（x）= x-2 ax+1 (a＞1，x∈R，x≠- 1 a ) ；（1）试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由；（2）若函数F（x）=a x +f（x），试问：方程F（x）=0有没有负根，请说明理由．（3）记G（x）=|a x -b|-b?a x ，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范围．

Answer 1

（1）令f（x 1 ）=f（x 2 ） x 1 -2 a x 1 +1 = x 2 -2 a x 2 +1 化简得：（2a+1）（x 1 -x 2 ）=0 因为a＞1．所以等式成立的唯一条件是：x 1 =x 2 ． ∴函数的图象上不存在不同的两点，它们的函数值相同 （2）F（x）=a x +f（x）=a x x-2 ax+1 a＞1，所以a x 在区间（-∞，0]上为增函数，而f（x）在区间（-∞，0]上也是增函数． 根据函数单调性的性质：在同一单调区间内增函数+增函数，还是增函数． 可得函数F（x）=a x +f（x）在区间（-∞，0]上为增函数 又因为F（0）=-1 所以当x＜0时，f（x）＜-1 所以就不存在x＜0，使得f（x）=0． 即方程F（x）=0没有负根 （3）a x ＞0， 如果b＜0，则：g（x）=（1-b）a x -b，为单调递增函数，无最小值． 如果b≥0，则： 当a x ＞b时，g（x）=（1-b）a x -b， 当a x ＜b时，g（x）=-（1+b）a x +b， 因为在两个开区间内，g（x）都是单调函数． 所以，要取得最小值的条件是，g（x）在（-∞，b]为减函数，在[b，+∞）为增函数． 所以： 1-b＞0 -（1+b）＜0 又∵b≥0 解得：0≤b＜1