Question

已知平面向量m=（3sinx，cosx），n=（cosx，cosx），p=（23，1）．（Ⅰ）若m∥p，求sin2x的值；（Ⅱ）设f

已知平面向量m=（3sinx，cosx），n=（cosx，cosx），p=（23，1）．（Ⅰ）若m∥p，求sin2x的值；（Ⅱ）设f（x）=m?n，求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）设f（x）=m?n，△ABC三边满足b2=ac且b所对角θ的取值集合为M，当x∈M时，求f（x）的值域．

Answer 1

（I）∵

m

∥

p

，
∴

3

sinx=2

3

cosx，
∴tanx=

3

．
∴sin2x=2sinxcosx=

2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2tanx

1+tan2x

=

4

5

．
（II）f（x）=

m

?

n

=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

cos2x+1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（III）由余弦定理可得：cosθ＝

a2+c2?b2

2ac

=

a2+c2?ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，当且仅当a=b=c时取等号．
∴θ∈(0，

π

3

]，∴x∈(0，

π

3

]，

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴1≤f(x)≤

3

2

．