Question

已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+n-4（n∈N*）．（1）求证：数列{an}为等差数列

已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+n-4（n∈N*）．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）∵2S_n=a_n²+n-4（n∈N^*）．
∴2S_n+1=a_n+1²+n+1-4．
两式相减得2S_n+1-2S_n=a_n+1²+n+1-4-（a_n²+n-4），
即2a_n+1=a_n+1²-a_n²+1，
则a_n+1²-2a_n+1+1=a_n²，
即（a_n+1-1）²=a_n²，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1-1=a_n，
即a_n+1-a_n=1
即数列{a_n}为等差数列，公差d=1．
（2）∵2S_n=a_n²+n-4，
∴当n=1时，2a₁=a₁²+1-4，
即a₁²-2a₁-3=0，
解得a₁=3或a₁=-1，（舍）
∵数列{a_n}为等差数列，公差d=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+n-1=n+2．