Question

已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c

已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c．

Answer 1

解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc，
所以a＜3，故a=1或者a=2．
（1）当a=1时，有b+bc+c=bc，
即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾．
（2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0，
所以（b-2）（c-2）=4，
又因为2＜b＜c，故0＜b-2＜c-2，
于是b-2=1，c-2=4．即b=3，c=6，
所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6．

解法二：∵ab+bc+ca=abc，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

＝1，
∵a＜b＜c，
∴

1

a

＞

1

b

＞

1

c

，
所以

1

a

＞

1

3

，1＜a＜3，a＝2．
∴

1

b

+

1

c

＝

1

2

，
所以

1

b

＞

1

4

，2＜b＜4，b＝3．
由上得，c=6，
所以，唯一解：a=2，b=3，c=6．