Question

已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D．（1）如图，求证：AC是⊙O1的

已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D．（1）如图，求证：AC是⊙O1的直径；（2）若AC=AD，①如图，连接BO2、O1O2，求证：四边形O1C BO2是平行四边形；②若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧MB上任取一点E（点E与点B不重合），EB的延长线交优弧BDA于点F，如图所示，连接AE、AF，则AE______AB（请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明．（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）

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Answer 1

解答：（1）证明：∵CD⊥AB，（1分）
∴∠ABC=90°．（2分）
∴AC是⊙O₁的直径．（3分）

（2）①证明：∵CD⊥AB，
∴∠ABD=90°．
∴AD是⊙O₂的直径．（4分）
∵AC=AD，
∵CD⊥AB，
∴CB=BD．（5分）
∵O₁、O₂分别是AC、AD的中点，
∴O₁O₂∥CD且O₁O₂=

1

2

CD=CB．（6分）
∴四边形O₁CBO₂是平行四边形．（7分）
②解：AE＞AB，（8分）
当点E在劣弧

MC

上（不与点C重合）时，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB．
∴AE=AF．（9分）
记AF交BD为G，
∵AB⊥CD，
∴AF＞AG＞AB．（10分）
当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，
当点E在劣弧

CB

上（不与点B重合）时，设AE交CD与H，
AE＞AH＞AB．（11分）
综上，AE＞AB．（12分）