Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=4和直线l：2x+y-10=0，点P为圆C上任意一点．（1）若直线l'∥l，

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=4和直线l：2x+y-10=0，点P为圆C上任意一点．（1）若直线l'∥l，且l'被圆C截得的弦长为23，求直线l'的方程；（2）过点P作圆C的切线，设此切线交直线l于点T，若PT＝21，求点T的坐标；（3）已知A（2，2），是否存在定点B（m，n），使得PAPB为定值k（k＞1）？请证明你的结论．

Answer 1

（1）直线l'∥l，
可设l'：2x+y+m=0
∵l'被圆C截得的弦长为2

3

，
故圆C：x²+y²=4的圆心（0，0）到l'的距离d与半弦长

l

2

=

3

及半径r=2构成直角三角形，满足勾股定理
即d²=r²-（

l

2

）²=4-3=1，即d=1
又∵弦心距d=

|m|

5

∴1=

|m|

5

解得m=±

5

即l'的方程为：2x+y±

5

=0
（2）∵PT与圆切于P点
∴CT²=PT²+CP²=25
设T点坐标为（x，y）则

2x+y?10＝0 x2+y2＝25

解得

x＝3 y＝4

或

x＝5 y＝0

即T点坐标为（3，4）或（5，0）
（3）存在（1，1）点为B点时，满足

PA

PB

为定值

2

＞1满足要求，
理由如下：
P点到A（2，2）的距离平方为（x-2）²+（y-2）²=x²+y²-4x-4y+8=12-4x-4y
P点到B（1，1）的距离平方为（x-1）²+（y-1）²=x²+y²-2x-2y+2=6-2x-2y
即

PA2

PB2

=

12?4x?4y

6?2x?2y

=2
故

PA

PB

=

2

＞1