Question

如图，AB为圆O的直径，点P在PA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC²=PE*PO

（1）求证：PC是圆O的切线
（2）若OE:EA=2:1，且PA=6，求圆O的半径
（3）求sin角PCA的值。
如图：

Answer 1

(1)∵PC²=PE*PO,∴PE/PC=PC/PO
∵∠P=∠P,∴△PCO∽△PEC
∴∠PCO=∠PEC
∵CD⊥AB,∴∠PEC=90°=∠PCO
∴PC是切线
(2)PC²=PE*PO=PO²-OC²
设AE=k,则OE=2k,OC=OA=3k

PE=PA+AE=6+k,PO=PA+OA=6+3k
∴(6+k)(6+3k)=(6+3k)²-(3k)²
解得k=4,∴r=OC=3k=12
(3)连接BC,则∠PCA=∠B
AB=2OC=24,AC=√(AE²+CE²)=√(AE²+OC²-OE²)=4√6
∴sin∠PCA=sinB=AC/AB=√6/6

Answer 2

PC^2;=PE*PO
PC/PE=PO/PC,∠CPE=∠CPO

所以,RT三角形CPE和三角形CPO相似
即,∠PCO=∠CEP=90
所以,PC是圆O的切线
2)PC是圆O的切线
PC²=PB*AP
PE*PO=PB*AP
(1/3R+6)(R+6)=(2R+6)6
R=12
3)∠PCA=∠ABC
CE^2=OE*EA=2/3R*1/3R=2/3*12*1/3*12=32
AC^2=CE^2+EA^2=32+16=48
AC=4√3

sin∠PCA=sin∠ABC=AC/AB=4√3/24=√3/6
sin∠PCA=√3/6

Answer 3

①证明略
②r＝12
③sin∠PCA＝√6／6