Question

如何用极限的定义证明n次根号下a的极限（n趋于无穷）是1

谢了~我想问对于属于（0,1）区间内的a，可以用类似的方法证明吗，其中出现了减法，那个伯努利原理也可以应用吗？希望给出答案，谢谢~

Answer 1

设An=n^(1/n)=1+Hn。

n=(1+Hn)^n>n(n-1)*(Hn)^2/2。

由上面的式子可知0。

用极限的ε-N语言定义证明n→∞ lim[√(n²+a)]/n=1?

解：不论预先给定的正数ε怎么小，由∣[√(n²+a)]/n-1∣=∣[√(n²+a)-n]/n∣

=∣a/n[√(n²+a)+n]∣<∣a/n∣<ε，得n>∣a/ε∣,可知存在正整数N=[∣a/ε∣],

当n≧N时不等式∣[√(n²+a)]/n-1∣<ε；故n→∞ lim[√(n²+a)]/n=1。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

百度文库里面有一篇关于用极限定义证明的题目 第一页就有你要的答案

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