Question

线性代数矩阵，用初等变换做。谢谢了

Answer 1

显然，代数余子式
A₁₁=|I|=1 (其中I表示单位矩阵)
A₁₂=A₁₃=⋯=A₁n=0 （因为子矩阵的第一列全为0）

A₂₁=(-1)*2=-2
A₂₂=2
A₂₃=A₂₄=⋯=A₂n=0（因为子矩阵是对角阵，而且子矩阵第2行第2列元素为0，行列式为0）

A₃₁=0（因为子矩阵前2列元素分别相等，行列式为0）
A₃₂=(-1)*2=-2
A₃₃=2
A₃₄=⋯=A₃n=0（因为子矩阵是对角阵，而且子矩阵第3行第3列元素为0）

A₄₁=0（因为子矩阵第2列、第3列元素分别相等，行列式为0）
A₄₂=0（因为子矩阵第2行、第3行元素分别相等，行列式为0）
A₄₃=(-1)*2=-2
A₄₄=2
A₃₄=⋯=A₃n=0（因为子矩阵是对角阵，而且子矩阵第3行第3列元素为0）

⋮
类似地，有
An₁=0（因为子矩阵前2行元素是倍数关系，成比例，行列式为0）
An₂=0（因为子矩阵第2列、第3列元素分别相等，行列式为0）
⋮
An₋₁n=(-1)*2=-2
Ann=2

因此代数余子式之和

∑Aij=1+(-2+2)+(-2+2)+⋯+(-2+2)=1+0+⋯+0=1

Answer 2

初等变换求解，你疯了吗？？！
用行列式好吧。利用行列式的定义，一行或列的元素对应乘以代数余子式求和就是行列式。
这样的话，第一行，全是2，所以按第一行求行列式的话，就是2*（代数余子式之和）=行列式=2
所以第一行的代数余子式之和为1。
剩下n-1行，所有1的代数余子式，同理可以得到，和为2(n-1)
那一堆0的代数余子式，每个0的代数余子式绝对值都是2，正负号看那个0的行号列号之和。加起来之后，若n为偶数，则抵消后剩下一个正的，和为2。若n为奇数，刚好互相抵消，和为0。
综上，n为偶数时，和为1+2（n-1）+2，n为奇数时，和为1+2（n-1）

追问

嗯，用行列式解很简单！ 可是老师要求用矩阵啊😭

追答

第一行的所有的2，除了左边第一个2的代数余子式是1，其他的话，删除一行一列后，都会得到一列0（最左边）。所以代数余子式都是0。

所有的0，删除一行一列后，得到的行列式都是一个n-1阶的跟原始方阵特征相同的方阵（你可以试一下），所以余子式都是2，代数余子式只需要再考虑符号。加起来后会抵消一堆。
所有的对角线上的1，删除一行一列后，得到的行列式也是一个n-1阶的跟原始方阵特征相同的方阵。所以余子式也都是2。考虑符号即可。
所有不在对角线上的1，删除一行一列后，肯定会删除一个对角线上的1，得到的余子式是一个上三角，而且对角线中有1个0（就是删除了对角线上的1那行）。所以余子式都是0。