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解：∵m²-5m-1=0 ==>m²-5m=1
∴m²-5m+25/4=29/4
==>(m-5/2)²=29/4
==>m=(5±√29)/2
∵当m=(5+√29)/2时，m²=(27+5√29)/2
则m²-5m-1/m²=1-1/m²
=1-2/(27+5√29)
=1-(27-5√29)/2
=(5√29-25)/2
=-5(5-√29)/2
当m=(5-√29)/2时，m²=(27-5√29)/2
则m²-5m-1/m²=1-1/m²
=1-2/(27-5√29)
=1-(27+5√29)/2
=-(25+5√29)/2
=-5(5+√29)/2
∴当m²-5m-1=0时，必有m²-5m-1/m²=-5(5±√29)/2。
∴m²-5m+25/4=29/4
==>(m-5/2)²=29/4
==>m=(5±√29)/2
∵当m=(5+√29)/2时，m²=(27+5√29)/2
则m²-5m-1/m²=1-1/m²
=1-2/(27+5√29)
=1-(27-5√29)/2
=(5√29-25)/2
=-5(5-√29)/2
当m=(5-√29)/2时，m²=(27-5√29)/2
则m²-5m-1/m²=1-1/m²
=1-2/(27-5√29)
=1-(27+5√29)/2
=-(25+5√29)/2
=-5(5+√29)/2
∴当m²-5m-1=0时，必有m²-5m-1/m²=-5(5±√29)/2。
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