Question

函数极限的局部保号性证明中，取的是ε=A／2，那如果取ε>A就证明不了了啊，很困惑，求指点！谢谢！

Answer 1

首先从定义入手
大家都知道极限的定义是对于任意ξ＞0，既然它敢给任意大于零这个条件，那么我们必须得承认，ξ是可以取2A，甚至10000A都可以。
其次再次从定义出发
对于任意ξ＞0，存在δ＞0，当x-x0的绝对值＞0小于δ时，有fx-A的绝对值＜ξ
注意！这个fx-A的绝对值的范围并不是它的值域。而是它的客观描述。比如
-10000＜4＜10000成立
1＜4＜5也成立
这句话的意思是，无论你ξ取多大，和我客观fx的极限就趋近于A是无关的。
举个例子。你给我整个世界，我都在你身边。
所以现在就可以解释你的疑问了。
如果ξ取2A，-A＜fx＜3A仍然成立，但这只是一种客观描述，因为任意一个正整数都可以大于一个小于它的正整数更可以大于一个负数。这个区间的描述并不影响fx本身＞0的这件事情。就好像我们上面举的2的那个例子一样。

Answer 2

在极限的定义中的ε是可以任意小的正数，
如果取ε>A(>0)，就不符合定义中的ε了。

Answer 3

个人见解：保号性的定义只要求存在N并非任意N，而N取值与ε有关，所以只要存在一个ε能满足保号性即可，不满足条件的ε不用管他

Answer 4

因为题干中是要求存在而不是任意。所以只要求出一个满足条件的ε就可以了