Question

在△ABC中,∠ACB等于90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且AF=CE

求证四边形ACEF是平行四边形。
四边形ACEF是菱形时，∠B的度数。
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Answer 1

事实上，F是在DE的延长线上（注意：不是DE的反向延长线）
因为ED垂直平分BC 所以可以知道E为AB中点（中位线定理）
所以AE=CE=BE(直角三角形斜边中线等于斜边一半) 而已知中有CE=AF
所以△AFE和△AEC 均为等腰三角形 （AF=AE AE=CE）
所以∠F=∠AEF ∠EAC=∠ACE
而AC‖DE（∠ACB等于90°,DE垂直平分BC）
所以∠AEF=∠EAC 所以∠F=∠EAC=∠AEF=∠ACE
那么△AFE≌△AEC（角角边：∠F=∠EAC=∠AEF=∠ACE AF=CE）
所以∠FAC=∠AEC 所以AF‖CE
即 四边形ACEF是平行四边形（AF与CE平行且相等）

第二个问题：四边形ACEF是菱形时，∠B的度数？
由上面可知AE=CE
若四边形ACEF为菱形 则AC=CE
所以AE=CE=AC
即△AEC为等边三角形 所以∠CAE=60°
而∠CAE+∠B=90°
所以∠B=30°