高一数学函数问题 急!
要详细的解答过程,好的追分!设奇函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,若不等式f(ax+6)+f(2-x2)<0对于任意x∈[2,4]都成立,求实数a的取值范围。...
要详细的解答过程,好的追分!
设奇函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,若不等式f(ax+6)+f(2-x2)<0对于任意x∈[2,4]都成立,求实数a的取值范围。
那个f(2-x2)是f(2-x的平方) 展开
设奇函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,若不等式f(ax+6)+f(2-x2)<0对于任意x∈[2,4]都成立,求实数a的取值范围。
那个f(2-x2)是f(2-x的平方) 展开
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解:因为f(x)是奇函数
所以f[-(2-x2)]=-f(2-x2)
即f(x2-2)=-f(2-x2)
由不等式f(ax+6)+f(2-x2)<0 (x∈[2,4])得
f(ax+6)< -f(2-x2)=f(x2-2) (x∈[2,4])
因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数
所以对任意x∈[2,4],ax+6<x2-2 都成立
即对任意x∈[2,4]时,x2-ax-8>0恒成立
设g(x)=x2-ax-8,其判别式大于0,依题意有对任意x∈[2,4],g(x)的最小值大于0
x=a/2为g(x)的对称轴
故当a/2<2,即a<4时,g(x)在[2,4]上为增函数
g(2)为最小值,g(2)=-2a-4>0,即a<-2
当2≤a/2≤4,即4≤a≤8时,g(a/2)为最小值
g(a/2)=-(a2/4+8),g(a/2)恒小于0 (舍)
当a/2>4,即a>8时,g(x)在[2,4]上为减函数
g(4)为最小值,g(4)=-4a+8>0,即a<2,因为a>8,故舍去
综上所述a<-2时,不等式f(ax+6)+f(2-x2)<0对于任意x∈[2,4]都成立
打字太麻烦了,我都打了半小时了,才打这么多,累。不打了,思路已经很明白了,你接着讨论就ok了
昨天晚上没时间把答案写完,今天补全了
请采纳。。。。
所以f[-(2-x2)]=-f(2-x2)
即f(x2-2)=-f(2-x2)
由不等式f(ax+6)+f(2-x2)<0 (x∈[2,4])得
f(ax+6)< -f(2-x2)=f(x2-2) (x∈[2,4])
因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数
所以对任意x∈[2,4],ax+6<x2-2 都成立
即对任意x∈[2,4]时,x2-ax-8>0恒成立
设g(x)=x2-ax-8,其判别式大于0,依题意有对任意x∈[2,4],g(x)的最小值大于0
x=a/2为g(x)的对称轴
故当a/2<2,即a<4时,g(x)在[2,4]上为增函数
g(2)为最小值,g(2)=-2a-4>0,即a<-2
当2≤a/2≤4,即4≤a≤8时,g(a/2)为最小值
g(a/2)=-(a2/4+8),g(a/2)恒小于0 (舍)
当a/2>4,即a>8时,g(x)在[2,4]上为减函数
g(4)为最小值,g(4)=-4a+8>0,即a<2,因为a>8,故舍去
综上所述a<-2时,不等式f(ax+6)+f(2-x2)<0对于任意x∈[2,4]都成立
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