Question

线性代数：设A={a1,a2,a3}且|A|=a，则|2a1,a2+3a3,a1+2a2-a3|=

Answer 1

a1, a2, a3 为 3 维向量，则
D = |2a1 a2+3a3 a1+2a2-a3| （第1列提取公因子2）
= 2 |a1 a2+3a3 a1+2a2-a3| （第3列减去第1列）
= 2 |a1 a2+3a3 2a2-a3| （第3列的3倍加到第2列）
= 2 |a1 7a2 2a2-a3| （第2列提取公因子7）
= 14 |a1 a2 2a2-a3| （第2列的 -2 倍加到第3列）
= 14 |a1 a2 -a3| （第3列提取公因子 -1）
= -14 |a1 a2 a3| = -14a

Answer 2

（通解在书上有介绍，自己看看就是了）
a1+2a2-a3=0说明a1,a2,a3线性相关，又a2,a3线性无关，所以a1,a2,a3的秩是2，即a的秩是2。未知量的个数是3，所以ax=0的基础解系中有一个向量。由a1+2a2-a3=0说明(1,2,-1)^t是ax=0的一个解，所以ax=0的通解是k(a,2,-1)^t，k是任意实数。
由β=a1+2a2+3a3得ax=β的一个解(1,2,3)^t。所以ax=β的通解是(1,2,3)^t＋k(1,2,-1)^t