Question

求解高中的一道导数题。

已知函数f(x)=lnx,F(x)=½x²-2x+alnx
(Ⅰ)若函数F（x）在x=1处取得极值，求a的值。
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数F(x)的单调性。
（Ⅲ）若x＞0,证明不等式x-½x²＜f(x+1)＜x

Answer 1

F'(x)=x-2+a/x
当F'=0时，x=1
代入得：a＝1

当a＞0时，
若a＞＝4时，递增
若0＜a＜4，解下F'(x)＝0，当F'(x)小于0时递减，大于0时递增

证f(x+1)＜x：由ln[(x+1)/x]小于0即可推得．
证x-½x²＜f(x+1)：略