Question

连续函数求解？

设F（x）在【0，2a】上连续，而且F(0)=F(2a)，证明：在【0，a】上至少存在一点p使得F(P)=f(P+a)。 我只要解题的思路。。

Answer 1

有关闭区间上连续函数的命题的证法：
（1）直接法 其程序是先利用最值定理，再利用介值定理。
（2）间接法，也就是构造辅助函数 先做辅助函数F(x)，验证其满足零值定理的条件，然后由零值定理得出命题的证明。

辅助函数F(x)的做法：
①把结论中的ζ或者Xo改写成x；
②移项，使等式右边为零，令左边的式子为F(x)，此即为所求的辅助函数。

设G(x)=F(x+a)-F(x)
因为F（x）在[0，2a]上连续，而且F(0)=F(2a),所以有
F(0)=F(a)-F(0),F(a)=F(2a)-F(a)=F(0)-F(a).
当F(a)-F(0)=0时，可取P为a或0，而当F(a)-F(0)≠0时，有

F(a)×F(0)=-[F(a)-F(0)]^2＜0，由零值定理可知存在一个P∈(0,a),使得G(P)=0,即F(P)=F(P+a)

Answer 2

这个题等同于证明G(x) =F(x)-F(x+a)有零点,

G(0) =F(0)-F(a) =F(2a)-F(a)

G(a) =F(a)-F(2a)

如果F(a) =F(2a), 则那个零点点就是0,a

如果F(a) 不等于 F(2a), 则G(0),G(a)必定一个大于零,一个小于零,

直接应用零值定理或介值定理即可证明结论