Question

已知圆C:x²+y²－2x－2y+1＝0，与圆C相切的直线l交x轴，y轴的正方向于A,B两点，O为

已知圆C:x²+y²－2x－2y+1＝0，与圆C相切的直线l交x轴，y轴的正方向于A,B两点，O为原点，OA=a,OB=b(a＞2,b＞2).
(1)求证:(a－2)(b－2)＝2
(2)求线段AB中点的轨迹方程
(3)求△AOB面积的最小值

Answer 1

（1）圆C:x²+y²－2x－2y+1＝0，
配方得(x-1)^2+(y-1)^2=1,
设与圆C相切的直线l：x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0,
∴圆心C到l的距离|b+a-ab|/√(b^2+a^2)=1,
平方得(a+b-ab)^2=a^2+b^2,
∴2ab-2ab(a+b)+(ab)^2=0,a>2,b>2,
∴2-2(a+b)+ab=0,①
∴(a-2)(b-2)=2.
(2)A(a,0),B(0,b)的中点：x=a/2,y=b/2,
∴a=2x,b=2y,
代入①，2-4x-4y+4xy=0,
y=(2x-1)/(2x-2),为所求.
(3)易知a+b>=2√(ab),
由①，ab-4√(ab)+2>=0,
∴√(ab)>=2+√2，
∴ab>=6+4√2，当a=b=2+2√2时取等号，
∴△AOB面积S=(1/2)ab的最小值是3+2√2.

Answer 2