Question

过椭圆上一点P的切线方程，用导数方法怎么推导

Answer 1

设P点坐标P（xp，yp)，椭圆方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1
则对椭圆方程两边求导（对x） 2x/a^2+2y*y'/b^2=0 【∵y是x的函数，∴y^2是x的复合函数】
=> y'=(-2x/a^2)/(2y/b^2) => k(x=xp、y=yp)=-(xp)b^2/(yp)a^2
切线方程 y-yp=[-xpb^2/ypa^2](x-xp)
=> y*ypa^2-yp^2a^2=-x*xpb^2+xp^2b^2
=> x*xpb^2+y*ypa^2=xp^2b^2+yp^2a^2
=> x*xp/a^2+y*yp/b^2=(xp^2/a^2+yp^2/b^2)=1 【两边除以 a^2b^2 】
∴椭圆上一点P（xp ，yp）处的切线方程为 ： x*xp/a^2+y*yp/b^2=1

资料：http://zhidao.baidu.com/link?url=Mpy5cEo7zUIks6QF0aYdl-dsW-mjf3Bnjs6Y9Hwszo8_n2uilMLA6KPl1fDZ0yf9E3lkN2SQqCkZQ_36hkQo9-uHii0cI6uOt7sr6e-jecq

Answer 2

设椭圆为x²/a²+y²/b²=1
P点坐标为(p, q), 则有p²/a²+q²/b²=1
方程两边对x求导：2x/a²+2yy'/b²=0, 得y'=-b²x/(a²y)
因此在P点的导数为y'=-b²p/(a²q)
切线即为：y=-b²p/(a²q)(x-p)+q
两边同时乘以q， 同时除以b²，
qy/b²=-px/a²+p²/a²+q²/b²
代入 p²/a²+q²/b²=1，得：
px/a²+qy/b²=1