Question

高数上的一个问题

Answer 1

第一问反证法，假设不存在x属于（a,b)使得x+l属于（a，b），则对于任意
l属于（0，b-a）和x属于（a，b）x+l小于等于a或者大于等于b，显然x+l>a的，因此考虑其大于等于b，先取l=(b-a)/2,x=(b+a)/2,此时x+l=b，再取
l=(b-a)/4,x=(b+a)/2，此时x+l必然小于b，因此假设不成立，原命题成立

令g（x)=f(x+l)-f(x),则g(a)=f（a+l)-f(a)，a<a+l<b,因为f(x)为凸函数且
f(a)=f(b),那么f（a+l）>f(a),因此g(a)=f（a+l)-f(a)>0,
g(b-l)=f(b)-f(b-l),因为a<b-l<bf(x)为凸函数且f(a)=f(b),那么f(b-l)>f(b),因此g(b-l)=f(b)-f(b-l）<0,g(a)g(b-l)<0,因此在（a,b-l)上g(x)存在0点，（a,b-l)属于(a,b),因此在（a,b)上g(x)存在0点，即f(x+l)-f(x)=0