Question

一道数学题,求详细解答过程

求下列函数的值域
y = log[a] (x - x^2 ) (a＞0，a≠1)
f(x) = lg (x + √((x^2)+1) )

Answer 1

（1）首先 因为，y = log[a] (x - x^2 ) (a＞0，a≠1) 这是一个对数函数，所以 (x-x^2)必大于零，由此可得到x的取值范围是：0＜x＜1，又因为
x - x^2=-(x-1/2)^2+1/4 最大值为1/4(当x=1/2时取得最大值)。故综上，
0＜ x-x^2 ≤1/4。所以
当a＞1时，函数y为增函数，y∈（－∞，log[a]1/4]
当0＜a＜1时，函数y为减函数，y∈[log[a]1/4，+∞）

（2）因为√((x^2)+1）>｜x｜，所以 x + √((x^2)+1) ＞x+｜x｜
又因为x+｜x｜≥0，所以 x + √((x^2)+1) ＞0，故
f(x)的值域是（－∞，＋∞）

Answer 2

①因为x - x^2=-(x-1/2)^2+1/4≤1/4 所以当a＞1时y∈（－∞，log[a]1/4]
当0＜a＜1时y∈[log[a]1/4，+∞）
②f(x) = lg (x + √((x^2)+1) )
为奇函数且定义域内的增函数
它的值域是（－∞，＋∞）