Question

用数学归纳法证明：1/1^2+1/2^2+......+1/n^2<2

书上说用归纳法证不出来
希望有人能帮我证一下，证到哪一步，证不下去了，就停在那里让我看一下
就用数学归纳法证。
如果有别的证明方法也可以~

Answer 1

证明：设S(n)=1/1²+1/2²+...+1/n²
∵1/1²≤2-1/1
∴猜想S(n)≤2-1/n
当n=1时，成立
假设当n=k＞1时成立,即S(k)≤2-1/k
下面正面当n=k+1时,S(k+1)≤2-1/(k+1)成立
显然，S(k+1)=S(k)+1/(k+1)²≤2-1/k+1/(k+1)²
∵k²+2k+1≥k²+2k
(k+1)²≥k(k+1)+k
(k+1)²-k≥k(k+1)
-(k+1)²+k≤-k(k+1)
∵k＞1，∴k+1＞0
-1/k+1/(k+1)²≤-1/(k+1) ......//此处不等式左右同时除以k(k+1)²
2-1/k+1/(k+1)²≤2-1/(k+1)
即S(k+1)≤2-1/k+1/(k+1)≤2-1/(k+1),成立
∴猜想成立，即S(n)≤2-1/n
∵1/n＞0
-1/n＜0
2-1/n＜2
∴S(n)≤2-1/n＜2
即S(n)＜2

Answer 2

证明：1.当n=2时，1+1/4<2-1/2，命题成立；2.假设n=k时，1+1/2^2+1/3^2+.....+1/k^2<2-1/k,(k属于自然数集且n大于等于2),那么n=k+1时,1+1/2^2+1/3^2+.....+1/k^2+1/（k+1)^2<2-1/k+1/（k+1)^2=2-(k^2+k+1)/k(k+1)^2<2-(k^2+k)/k(k+1)^2=2-k(k+1)/k(k+1)^2=2-1/(k+1),即n=k+1时，命题也成立；右边是一个数则不能用数学归纳法
可以将2改为2-1/n就行了

Answer 3

我与你说，用数学归纳法一般都是可以的，但麻烦，如果有别的方法的话，那就不要考虑数学归纳法
这题可以用方缩法来做

1/1^2+1/2^2+......+1/n^2
≤1/(1*1)+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/(n-1)-1/n]
=2-1/n
＜2

这样会比数学归纳法简单吧

Answer 4

归纳法是什么意思你都不明白吧
都是证明 N=1,2 之类的最容易计算的来证明成立
然后假设在N成立 证明N+1成立
可是这个题 左边和N有关 右边固定数字
就算假设 n=N的时候小于2 n=N+1的时候会无限加 不一定小于2
所以归纳法不能证明
左边=1+1/(2*2)+1/(3*3)+...<1+1/(2*3)+1/(3*4)+...<2
后面那个的公式你们应该学了吧 所以绝对小于2

Answer 5

这是等比数列和的公式。
如果你是高中生的话就非常简单了。
等比数列就是Sn=A1（1-q^n）/1-q
期中Sn是很显然是和，A1是第一项，q是等比
你这个问题的第一项是1/1^2
对应进去的话An=1/1^2（1-1/n^2）
所以Sn=1-1/n^2。
很显然Sn<2
数学归纳法的话：
n=1的时候证明它成立（其实根本就小于1）；n=2的时候证明它成立（同样小于1）；
设n=k的时候成立（直接小于1），则n=k+1的时候对应进去这时候，你应该知道的吧，前面的小于1，后面加了也小于2