Question

九年级圆证明

如图，△ABC内接于⊙O，高AD，BE相交于点H，延长AD交△ABC的外接圆于点G，
求证：（1）HD=DG
（2）若∠ACB=60°，则CH等于⊙O的半径

Answer 1

(1)连接BG，根据同一弧所对应的圆周角相等，可推出∠BGA=∠ACB
再看△AHE和△ACD，共用∠DAC，而且∠BEC和∠ADC都是直角
则△AHE∽△ACD，推出∠AHE=∠ACB，根据之前∠BGA=∠ACB的结论
可得∠BGA=∠AHE
∠AHE=∠BHG（对角），则∠BGA=∠BHG
可得BH=BG，△BHG是等腰三角形，则BD既是△BHG的高又是它的中线（可用全等证明）
可得结论HD=DG
(2)过O作ON垂直于BC交BC于N，连接BO
在△BCE中，∠ACB=60°，则CE=1/2BC
因为过圆心垂直于弦的直线平分改弦，则CE=CN
通过上问证得的HD=DG可证△CDH≌△CDG，推出∠DCH=∠DCG
因为∠DCG=∠BAD（同一弧所对应的圆周角），则∠DCH=∠BAD
∠EHC=∠HBC+∠HCB=30°+∠HCD
∠BAC=∠CAD+∠BAD=30°+∠BAD
推出∠EHC=∠BAC
圆心角是所对的圆周角的2倍，则∠BOC=2∠BAC
推出∠COD=∠EHC
则在直角△COD和直角△CHE中，CE=CD，∠COD=∠EHC
推出△COD≌△CHE
推出CO=CH，CO是半径，所以问题可证

Answer 2

⑴连结BG、CG
易得：∠BHG＝∠AHE＝∠ACD＝∠AGB
∴BH＝BG
∴点B在HG的垂直平分线上
∵∠BCH＋∠ABC＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°
∴∠BCH＝∠BAD
∴∠CHD＝∠ABC＝∠CGH
∴CG＝CH
∴点C在HG的垂直平分线上
∴BC垂直平分HG
∴HD＝DG

⑵作直径BF，连结AF、CF
∴∠BAF＝∠BCF＝90°
∴AF‖CH，AH‖CF
∴四边形AHCF是平行四边形
∴AF＝CH
∵∠AFB＝∠ACB＝60°
∴AF＝1/2BF
∴CH＝1/2BF
即CH等于⊙O的半径