Question

已知如图△ABC是等边三角形，过AB边上的点D做DG‖BC交AC于点G，在GD的延长线上取点E使DE=DB，连接AE CD

（1）求证△AGE≌△DAC （2）过点E做EF‖DC交BC于点F请你连接AF判断△AFE是怎样的三角形并证

Answer 1

(1)
因为DG‖BC
所以角AGE=角CAD=60度
所以AG=AD
因为DE=DB，GC=DB
所以DE=GC
因为AG=DG
所以AG+GC=DG+DE
所以AC=EG
因为AG=AD,角AGE=角CAD,AC=EG
所以△AGE≌△DAC
(2)
因为EF‖DC,DE‖CF
所以EDCF是平行四边形
所以角DEF=角DCF
因为角AEG=角ACD
所以角AEF=角ACF=60度
因为AE=DC,DC=EF
所以AE=EF
所以△AFE是等边三角形

Answer 2

(1)
因为DG‖BC
所以角AGE=角CAD=60度
所以AG=AD
因为DE=DB，GC=DB
所以DE=GC
因为AG=DG
所以AG+GC=DG+DE
所以AC=EG
因为AG=AD,角AGE=角CAD,AC=EG
所以△AGE≌△DAC
(2)
因为EF‖DC,DE‖CF
所以EDCF是平行四边形
所以角DEF=角DCF
因为角AEG=角ACD
所以角AEF=角ACF=60度
因为AE=DC,DC=EF
所以AE=EF
所以△AFE是等边三角形

Answer 3

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．
∴△ADG是等边三角形．
∴AD=DG=AG．
∵DE=DB，
∴EG=AB．
∴GE=AC．
∵EG=AB=CA，
∴∠AGE=∠DAC=60°，AG=DA，
∴△AGE≌△DAC．

（2）解：△AEF为等边三角形．
证明：如图，连接AF，
∵DG∥BC，EF∥DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，
由（1）知△AGE≌△DAC，
∴AE=CD，∠AED=∠ACD．
∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°，
∴△AEF为等边三角形．

Answer 4

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．
∴△ADG是等边三角形．
∴AD=DG=AG．
∵DE=DB，
∴EG=AB．
∴GE=AC．
∵EG=AB=CA，
∴∠AGE=∠DAC=60°，AG=DA，
∴△AGE≌△DAC．

（2）解：△AEF为等边三角形．
证明：如图，连接AF，
∵DG∥BC，EF∥DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，
由（1）知△AGE≌△DAC，
∴AE=CD，∠AED=∠ACD．
∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°，
∴△AEF为等边三角形．