Question

已知函数f(x)=x+2/x，判断f(x)的奇偶性，并证明函数f(x)在[根号2，+∝）内是增函数

已知函数f(x)=x+2/x，判断f(x)的奇偶性，并证明函数f(x)在[根号2，+∝）内是增函数。急需要过程，写一下最好

Answer 1

f(x)的定义域为x≠0
f(-x)=-x-2/x=-(x+2/x)=-f(x)
所以f(x)是定义域上的奇函数
令x1>x2>=√2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(2/x1-2/x2)
=(x1-x2)-2(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-2/x1x2)
因为x1x2>2，0<2/x1x2<1，所以1-2/x1x2>0，又因为x1-x2>0
所以(x1-x2)(1-2/x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在x>=√2上是增函数

Answer 2

解：
分式有意义，x≠0，函数定义域为(-∞，0)U(0，+∞)，关于原点对称。
f(-x)=(-x)+2/(-x)=-(x+ 2/x)=-f(x)
函数是奇函数。
f'(x)=(x+ 2/x)'=1- 2/x²=(x²-2)/x²
x≥√2，x²≥2>0，x²-2≥0
f'(x)≥0√
函数在[√2，+∞)上单调递增。

如果没学导数，那么可以用定义证：
令x2>x1≥√2
f(x2)-f(x1)=x2+ 2/x2 -x1 -2/x1
=(x2-x1)-(2/x1-2/x2)
=(x2-x1)-2(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[1- 2/(x1x2)]
x2>x1，x2-x1>0
x2>x1≥√2，则x1x2>√2·√2=2
2/(x1x2)<1，1-2/(x1x2)>0
(x2-x1)[1- 2/(x1x2)]>0
f(x2)>f(x1)
函数在[√2，+∞)上单调递增。

Answer 3

会不会给cai'na

追答

会不会采纳？

Answer 4

直接小猿

Answer 5