Question

证明f（x)=x^3+x的单调性，用定义证明。请给个详细的步骤。

Answer 1

当然运用定义证明比较麻烦，在定义证明前，先介绍2个方法
法一：y=x^3 y=x均是单调增的，在函数图像上可以明显看到，那么f（x)=x^3+x单调增，这个适合于快速解决选择题，或填空等不需要过程的题目。
法二：导数法。f（x)=x^3+x，所以f'(x)=3x^2+1显然恒大于0，所以在整个x轴上单调增，简单明了。
下面，就用定义证明：
取x1<x2
那么：f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3+x1-x2=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+(x1-x2)
=(x1-x2){[x1+(x2/2)]^2+3/4 *x2^2 +1} <0
所以，x1<x2时，f(x1)-f(x2)<0，那么函数单调增

Answer 2

解：
设x1＜x2
f(x1)-f(x2)=(x1)³+x1 - (x2)³-x2
=(x1)³-(x2)³+x1-x2
∵x1＜x2
∴(x1)³-(x2)³＜0，x1-x2＜0
∴f(x1)-f(x2)＜0
即f(x)为单调增函数。

Answer 3

令x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x1^3-x2^3)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2+1)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3x^2/4+1]
x1>x2,所以x1-x2>0
(x1+x2/2)^2+3x^2/4+1,两个平方再加上1，所以大于0
所以f(x1)-f(x2)>0
即x1>x2时f(x1)>f(x2)
所以是增函数