Question

函数奇偶性:已知函数f(x)=x+m\x,且f(1)=2,g(x)为定义域在R上的奇函数。

1、判断F（x)=f(x)乘g(x)的奇偶性
2、判断函数在（1，正无穷）上的单调性，并定义证明结论
3、若f(a)>2,求实数a的取值范围

Answer 1

1、f(1)=1+m/1=2,
m=1,
f(x)=x+1/x,
f(-x)=-x-1/x=-(x+1/x)=-f(x),
g(x)是奇函数，
则g(-x)=-g(x),
F(-x)=f(-x)*g(-x)=[-f(x)]*[-g(x)]=f(x)*g(x)=F(x),
故F(x)是偶函数。

2、f'(x)=1-1/x^2,
x>1==>x^2>1==>1/x^2<1,1-1/x^2>0,
故f(x)在(1,+∞）单调递增。
若不用导数，则用定义来判断，
设在（1，+∞）区间内舍近求取二数x2>x1>1,
则f(x2)=x2+1/x2,
f(x1)=x1+1/x1,
f(x2)-f(x1)=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1*x2)
=(x2-x1)[1-1/(x1x2)],
因x2>x1,则x2-x1>0,
x2>x1>1,则x1*x2>1,
1/(x1*x2)<1,
1-1/(x1x2)>0,
则（x2-x1)[1-1/(x1x2)]>0,
f(x2)-f(x1)>0,
f(x2)>f(x1),
所以f(x)在（1，+∞）是单调增函数。

3.f(1)=2

Answer 2

f(x)=x+m\x,且f(1)=2
带入得到m=1
f(x)=x+1\x 可以得到f（x）奇函数
所以根据复合函数奇偶判断 奇奇得偶
所以F（x)=f(x)乘g(x)为偶函数
2.应该是判断f(x)
x1>x2>1
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+{1/x1-1/x2}
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
=(x1-x2)[(x1x2-1)/x1x2]>0
所以增函数
3，根据基本不等式当x>0
x+1\x>=2根号x*1/x=2，等号条件x=1
所以a>0且a不等于1

Answer 3

1，先求m值
F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)
2哪个函数？
3，用均值定理。