Question

2015年高考全国卷理科21题能用中值定理做吗

Answer 1

那个题用中值定理不好做的，但你要是顺手，也可以用的，看个人情况，能做出来，但是个人感觉不好做。

Answer 2

(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x³+ax+1/4，g(x)=-lnx
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x) 的切线；
(Ⅱ)用min {m，n} 表示m，n中的最小值，设函数
h(x)= min {f(x)，g(x)},(x>0)，讨论h(x)零点的个数

中值定理，是“存在”定理，这个定理，只能解决“存在与否”的问题。不能解决“有几个，是什么？”的问题。因此不能直接用来解决本题。

（I）x轴是切线，切点坐标（x，0），同时满足函数及其导数方程，据此求出x和a两个未知数。两个方程求两个未知数，应该可以确定求出。
f'(x)=3x²+a，
x³+ax+1/4=0，3x²+a=0，x²=-a/3，a≤0；
代入前式：x（-a/3）+ax+1/4=0，（2a/3）x=-1/4，x=-3/（8a）；
x²=9/（64a²）=-a/3
64a³=-27
4a=-3
a=-3/4
x=（-3/8）（-4/3）=1/2
（II）求出f(x),g(x)的交点，h(x)就是这些交点为界的分段函数，每一段f(x),g(x)哪个在下边，哪个就是该区间的h(x),因此，问题归结到求某区间内f(x)或g(x)的零点（图像与x轴的交点）
要注意的是（I）（II）题并不关联，a不一定是上面求得的-3/4
函数零点个数问题，可以用函数的单调性、连续性求解。基本定理是，函数f(x)在区间[a,b]内,f(a)f(b)<=0,在区间[a,b]内单调、连续，则在该区间，有且只有一个0点。
首先讨论两个函数的单调性，求出单调区间。
f'(x)=3x²+a>a,如果a≥0，x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，最小值f(0)=1/4;
a<0,3x²+a<0,0<x<√（-a/3），减函数，最大值f(0)=1/4,最小值f(√（-a/3）)=(√（-a/3）)³+a√（-a/3）+1/4，x=√（-a/3）有最小值，x>√（-a/3）,f'(x)>0,增函数。
x->+∞，f(x)->+∞;
g（x）=-lnx，单调递减函数，g(0)=+∞,x->+∞,g(x)->x->-∞,g(1)=0,是g(x)的唯一0点。

a≥0，f(x)≥1/4>0，无零点，h(x)唯一零点是属于g(x)，x=1；

a<0,要分成几种情况讨论：
(1)最小值f(√（-a/3）)=(√（-a/3）)³+a√（-a/3）+1/4>0,h(x)唯一零点是属于g(x)，x=1；
此时(√（-a/3）)³+a√（-a/3）+1/4
=（-a）^(3/2)/3^(3/2)-(-a)^(3/2)/3^(1/2)+1/4
=（-a）^(3/2)[1/3^(3/2)-3/3^(3/2)]+1/4
=-2（-a）^(3/2)/3^(3/2)+1/4>0
-2（-a）^(3/2)/3^(3/2)>-1/4
（-a）^(3/2)<3^(3/2)/8
-a<3/8^(2/3)=3/4
a>-3/4
-a/3<1/4,
√（-a/3）<1/2

(2)最小值f(√（-a/3）)=(√（-a/3）)³+a√（-a/3）+1/4=0,a=-3/4,√（-a/3）=1/2,两个零点x=1/2，x=1；
（3）最小值f(√（-a/3）)=(√（-a/3）)³+a√（-a/3）+1/4<0,a<-3/4,√（-a/3）>1/2,
此时，如果f(x)与g(x)的交点在(0,1)区间，h(x)有3个0点；
如果f(x)与g（x)的交点，在x=1，h(x)有两个0点；
如果f(x)与g(x)的交点，在x>1区间，h(x)只有一个零点，位于(0,1)区间，属于f(x)。