Question

已知函数f(x)=x^2/2+lnx (1)已知m是方程xf(x)-x^3/2=2009的根，n是方程n*e^n=2009求m*n的值

速度！过程！

Answer 1

由f(x)=x^2/2+lnx ,xf(x)-(x^3)/2=2009
则xlnx=2009
而m是方程的xf(x)-（x^3）/2=2009
所以mlnm=2009
两边同时取e,得到
me^m=e^2009
而ne^n=2009
两式相乘可以得到mne^(m+n)=2009e^2009
上式两边比较
于是有m+n=2009
mn=2009
所以有mn=2009

Answer 2

解：设f(x)=(1+1/x)lnx-x+1/2
则有
f'(x)=-1/x^2lnx+(1+1/x)/x-1('是指导数)
=1/x+1/x^2(1-lnx)-1
当x=3/2时，f'(x)0
当x=2时，f'(x)0
因此存在当x=a时(3/2a2)，f'(a)=0
则有1/a+1/a^2(1-lna)-1=0
即lna=a+1-a^2
即当0xa时，函数f(x)单调上升，当xa时，函数f(x)单调下降
即当x=a时，函数f(x)取最大值
f(a)=(1+1/a)lna-a+1/2
=5/2+1/a-a^2-a
在讨论该函数的单调性
因当a0时，f(a)单调下降
当a=3/2时，上式0
按前述，3/2a2
所以f(a)0
因此不存在实数x，使得f(x)=0
即方程(1+1/x)lnx=x-1/2无实数解

Answer 3

将f(x)=x^2/2+lnx 代入方程xf(x)-x^3/2=x(x^2/2+lnx )-x^3/3=xlnx=2009.
由于m是方程xf(x)-x^3/2=2009的根，所以mlnm=2009
由mlnm=2009得m^m=e^2009
而n*e^n=2009